深夜番組は面白い。
バイトから帰って飯食ってたら,フジテレビ「たけしのコマ大数学科」って番組やってて面白かったからメモ。別にそこまで面白くないけど。
このブログを読む優秀な諸君なら、解答は一瞬だよね????
ここから先は答え。
番組の先生が書いてた解を元に解説↓
▼Qを固定して,PをA上で動かすとRはどのように動くか
ざっくり:
半径1の円が描かれます。
詳説:
円Aの中心をA,Qに関してAと対称な点をO'とすると,
PQ=QR,AQ=QO',∠PQO'=∠QO'Rより△PQA≡△RQO'
したがって,O'R=PA,∠QAP=∠OQ'R
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiOJMO3dQ2C-imt-eYORp6BR11kywJPh7qXcCzfDK-fZ8o_wqhTbi9yMADtFMqt4j-J42D1kXwFPzMeVIhVnFkE4oiFDi25d9Yai_vBJ4FIjnX81cJaORiKoxYazXN9NqJXATJi/s320/IMG_1846_.jpg)
∴PがA上を動くとき,Rの軌跡はO'を中心とする半径1の円
▼Oを動かす時,O'はどのように動くか
ざっくり:
半径1の円の中心が,半径2の円を描きます。
詳説:
円Bの中心をB,Bに関してAと対称な点をOとする。
AB=BO,AQ=BO'よりAB:AO=AQ:BO'=1:2。
∠Aは共通なので,△ABQ∽△AOO'(相似比1:2)
∴OO'=2BQ,∠ABQ=∠AOO'
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgFp9-LtA14eWrXoQxGHWYGnx2ILqRyXf9RGFku7F8oMBi5NyzCzYdhZq6puq0EQ8ZCG5gGEhua43wr5TgzCsAObuUhWEEZwETi0B7H37KDZGTV_89JYXr_V01JYqY-K5i1ve9c/s320/IMG_1847_.jpg)
Oをを中心とする半径2の円をCとすると,O'は円C上を動く。
▼よって,
RはOを中心とする半径3の円と半径1の円の間のドーナツ状の領域を動く。
面積は,
(3r)^2 * π - r^2 * π = 8πr^2
r=1なので,面積は8π
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhxhoEeRJZJyVGrXofFuF9r8WGz2TEpgXtR1yBloMnsTsvZH0Y8LYoaPy1fdwYocvYuPOu4jF0UvxpMywMjsc_T1SvnAmTUbP6Eh5pN6bcIPp2YJw0DGKIB9iRRnv2gFR4fUxlx/s400/IMG_1843.JPG)
先にQを固定して考えるのがポイントですな。Pを先に固定するとドーナツを見抜けなさそう・・・。
現役女子東大生チームが,ドーナツ状だと見抜けずに9πで不正解でした。
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgiZheR6hFHhwzPEArL-41Oi3fxPnroHgcTEom3D8YETt9gVyStMO57XkOqmdEb9uRM7PkdNsbYb1iY9sZamlv0rbHamUVYd9oQQuOy3FmKo14QEbGnrMm51xnqYyKRbYfA840v/s400/IMG_1841.JPG)
オチはありません。
久しぶりに数学の図形問題見たから面白かったよってだけ。
このブログを読む優秀な諸君なら、解答は一瞬だよね????
ここから先は答え。
番組の先生が書いてた解を元に解説↓
▼Qを固定して,PをA上で動かすとRはどのように動くか
ざっくり:
半径1の円が描かれます。
詳説:
円Aの中心をA,Qに関してAと対称な点をO'とすると,
PQ=QR,AQ=QO',∠PQO'=∠QO'Rより△PQA≡△RQO'
したがって,O'R=PA,∠QAP=∠OQ'R
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiOJMO3dQ2C-imt-eYORp6BR11kywJPh7qXcCzfDK-fZ8o_wqhTbi9yMADtFMqt4j-J42D1kXwFPzMeVIhVnFkE4oiFDi25d9Yai_vBJ4FIjnX81cJaORiKoxYazXN9NqJXATJi/s320/IMG_1846_.jpg)
∴PがA上を動くとき,Rの軌跡はO'を中心とする半径1の円
▼Oを動かす時,O'はどのように動くか
ざっくり:
半径1の円の中心が,半径2の円を描きます。
詳説:
円Bの中心をB,Bに関してAと対称な点をOとする。
AB=BO,AQ=BO'よりAB:AO=AQ:BO'=1:2。
∠Aは共通なので,△ABQ∽△AOO'(相似比1:2)
∴OO'=2BQ,∠ABQ=∠AOO'
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgFp9-LtA14eWrXoQxGHWYGnx2ILqRyXf9RGFku7F8oMBi5NyzCzYdhZq6puq0EQ8ZCG5gGEhua43wr5TgzCsAObuUhWEEZwETi0B7H37KDZGTV_89JYXr_V01JYqY-K5i1ve9c/s320/IMG_1847_.jpg)
Oをを中心とする半径2の円をCとすると,O'は円C上を動く。
▼よって,
RはOを中心とする半径3の円と半径1の円の間のドーナツ状の領域を動く。
面積は,
(3r)^2 * π - r^2 * π = 8πr^2
r=1なので,面積は8π
先にQを固定して考えるのがポイントですな。Pを先に固定するとドーナツを見抜けなさそう・・・。
現役女子東大生チームが,ドーナツ状だと見抜けずに9πで不正解でした。
オチはありません。
久しぶりに数学の図形問題見たから面白かったよってだけ。
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